Question

12．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA₁=2，AD=CD=$\sqrt{5}$，且点M和N分别为B₁C和D₁D的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D₁-AC-B₁的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A₁B₁上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$，求线段A₁E的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA₁所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与$\overrightarrow{MN}$的数量积为0，即得结论；
（Ⅱ）通过计算平面ACD₁的法向量与平面ACB₁的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；
（Ⅲ）通过设$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，利用平面ABCD的一个法向量与$\overrightarrow{NE}$的夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA₁所在直线分别为x、y、z轴建系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，-2，0），
A₁（0，0，2），B₁（0，1，2），C₁（2，0，2），D₁（1，-2，2），
又∵M、N分别为B₁C、D₁D的中点，∴M（1，$\frac{1}{2}$，1），N（1，-2，1）．
由题可知：$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{5}{2}$，0），
∵$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{MN}$=0，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）解：由（I）可知：$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（1，-2，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，2），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面ACD₁的法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ACB₁的法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{y+2z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-2，1），
∵cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴二面角D₁-AC-B₁的正弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
（Ⅲ）解：由题意可设$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$，其中λ∈[0，1]，
∴E=（0，λ，2），$\overrightarrow{NE}$=（-1，λ+2，1），
又∵$\overrightarrow{n}$=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{NE}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{NE}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{（-1）^{2}+（λ+2）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，
整理，得λ²+4λ-3=0，解得λ=$\sqrt{7}$-2或-2-$\sqrt{7}$（舍），
∴线段A₁E的长为$\sqrt{7}$-2．

点评 本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．