Question

3．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）记事件A₁={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A₂={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B₁={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A₂={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A₁，A₂相互独立，${A}_{1}\overline{{A}_{2}}$，${A}_{2}\overline{{A}_{1}}$互斥，B₁，B₂互斥，然后求出所求概率即可．
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B$（3，\frac{1}{5}）$．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．

解答 解：（1）记事件A₁={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A₂={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B₁={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B₂={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A₁，A₂相互独立，${A}_{1}\overline{{A}_{2}}$，${A}_{2}\overline{{A}_{1}}$互斥，B₁，B₂互斥，且B₁=A₁A₂，B₂=${A}_{1}\overline{{A}_{2}}$+${A}_{2}\overline{{A}_{1}}$，C=B₁+B₂，因为P（A₁）=$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，P（A₂）=$\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，所以，P（B₁）=P（A₁）P（A₂）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{5}$，P（B₂）=P（${A}_{1}\overline{{A}_{2}}$）+P（${A}_{2}\overline{{A}_{1}}$）=$P（{A}_{1}）P（\overline{{A}_{2}}）$+$P（\overline{{A}_{1}}）P（{A}_{2}）$=$\frac{2}{5}×（1-\frac{1}{2}）+（1-\frac{2}{5}）×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，故所求概率为：P（C）=P（B₁+B₂）=P（B₁）+P（B₂）=$\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{7}{10}$．
（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：$\frac{1}{5}$$\begin{array}{c}，\end{array}\right.$所以．X～B$（3，\frac{1}{5}）$．于是，P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{5}）^{0}（{\frac{4}{5}）}^{3}$=$\frac{64}{125}$，P（X=1）=${C}_{3}^{1}{（\frac{1}{5}）}^{1}{（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{48}{125}$，P（X=2）=${C}_{3}^{2}{（\frac{1}{5}）}^{2}{（\frac{4}{5}）}^{1}$=$\frac{12}{125}$，P（X=3）=${C}_{3}^{3}{（\frac{1}{5}）}^{3}{（\frac{4}{5}）}^{0}$=$\frac{1}{125}$．
故X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

E（X）=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$．

点评 期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．