Question

15．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ） 求$\frac{sin∠B}{sin∠C}$．
（Ⅱ） 若∠BAC=60°，求∠B．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；
（Ⅱ）由∠C=180°-（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．

解答 解：（Ⅰ）如图，
由正弦定理得：
$\frac{AD}{sin∠B}=\frac{BD}{sin∠BAD}，\frac{AD}{sin∠C}=\frac{DC}{sin∠CAD}$，
∵AD平分∠BAC，BD=2DC，
∴$\frac{sin∠B}{sin∠C}=\frac{DC}{BD}=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵∠C=180°-（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，
∴$sin∠C=sin（∠BAC+∠B）=\frac{\sqrt{3}}{2}cos∠B+\frac{1}{2}sin∠B$，
由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，
∴tan∠B=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即∠B=30°．

点评 本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．