Question

2．设a＞1，函数f（x）=（1+x²）e^x-a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤$\root{3}{a-\frac{2}{e}}$-1．

Answer 1

分析 （1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．
（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．
（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x²+2x+1）=e^x（x+1）²，
∴f′（x）≥0，
∴f（x）=（1+x²）e^x-a在（-∞，+∞）上为增函数．
（2）证明：∵f（0）=1-a，a＞1，
∴1-a＜0，即f（0）＜0，
∵f（$\sqrt{a}$）=（1+a）${e}^{\sqrt{a}}$-a=${e}^{\sqrt{a}}$+a（${e}^{\sqrt{a}}$-1），a＞1，
∴${e}^{\sqrt{a}}$＞1，${e}^{\sqrt{a}}$-1＞0，即f（$\sqrt{a}$）＞0，
且由（1）问知函数在（-∞，+∞）上为增函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）上有且只有一个零点．
（3）证明：f′（x）=e^x（x+1）²，
设点P（x₀，y₀）则）f'（x）=e^x0（x₀+1）²，
∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，
∴f′（x₀）=0，即：e^x0（x₀+1）²=0，
∴x₀=-1，
将x₀=-1代入y=f（x）得y₀=$\frac{2}{e}-a$．
∴${k}_{op}=\frac{\frac{2}{e}-a}{-1}=a-\frac{2}{e}$，
∴$f'（m）={e}^{m}（m+1）^{2}=a-\frac{2}{e}$，
要证m≤$\root{3}{a-\frac{2}{e}}$-1，即证（m+1）³≤a-$\frac{2}{e}$，
需要证（m+1）³≤e^m（m+1）²，
即证m+1≤e^m，
因此构造函数g（m）=e^m-（m+1），
则g′（m）=e^m-1，由g′（m）=0得m=0．
当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，
当m∈（-∞，0）时，g′（m）＜0，
∴g（m）的最小值为g（0）=0，
∴g（m）=e^m-（m+1）≥0，
∴e^m≥m+1，
∴e^m（m+1）²≥（m+1）³，
即：$a-\frac{2}{e}≥（m+1）^{3}$，
∴m≤$\root{3}{a-\frac{2}{e}}-1$．

点评 本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．