Question

16．设函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x₀使得f（x₀）＜0，则a的取值范围是（　　）

• A． [$-\frac{3}{2e}，1$）
• B． [$-\frac{3}{2e}，\frac{3}{4}$）
• C． [$\frac{3}{2e}，\frac{3}{4}$）
• D． [$\frac{3}{2e}，1$）

Answer 1

分析 设g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，问题转化为存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线y=ax-a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得-a＞g（0）=-1且g（-1）=-3e^-1≥-a-a，解关于a的不等式组可得．

解答 解：设g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，
由题意知存在唯一的整数x₀使得g（x₀）在直线y=ax-a的下方，
∵g′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
∴当x＜-$\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，当x＞-$\frac{1}{2}$时，g′（x）＞0，
∴当x=-$\frac{1}{2}$时，g（x）取最小值-2${e}^{-\frac{1}{2}}$，
当x=0时，g（0）=-1，当x=1时，g（1）=e＞0，
直线y=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，
故-a＞g（0）=-1且g（-1）=-3e^-1≥-a-a，解得$\frac{3}{2e}$≤a＜1
故选：D

点评 本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．