Question

11．在直角坐标系xOy中，直线C₁：x=-2，圆C₂：（x-1）²+（y-2）²=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C₁，C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线C₃的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），设C₂与C₃的交点为M，N，求△C₂MN的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C₁，C₂的极坐标方程．
（Ⅱ）把直线C₃的极坐标方程代入ρ²-3$\sqrt{2}$ρ+4=0，求得ρ₁和ρ₂的值，结合圆的半径可得C₂M⊥C₂N，从而求得△C₂MN的面积$\frac{1}{2}$•C₂M•C₂N的值．

解答 解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C₁：x=-2 的
极坐标方程为 ρcosθ=-2，
故C₂：（x-1）²+（y-2）²=1的极坐标方程为：
（ρcosθ-1）²+（ρsinθ-2）²=1，
化简可得ρ²-（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．
（Ⅱ）把直线C₃的极坐标方程θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R）代入
圆C₂：（x-1）²+（y-2）²=1，
可得ρ²-（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，
求得ρ₁=2$\sqrt{2}$，ρ₂=$\sqrt{2}$，
∴|MN|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{2}$，由于圆C₂的半径为1，∴C₂M⊥C₂N，
△C₂MN的面积为$\frac{1}{2}$•C₂M•C₂N=$\frac{1}{2}$•1•1=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．