Question

2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AC⊥BC，BC=CC₁，设AB₁的中点为D，B₁C∩BC₁=E．
求证：
（1）DE∥平面AA₁C₁C；
（2）BC₁⊥AB₁．

Answer 1

分析 （1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA₁C₁C；
（2）【方法一】先由直三棱柱得出CC₁⊥平面ABC，即证AC⊥CC₁；
再证明AC⊥平面BCC₁B₁，即证BC₁⊥AC；
最后证明BC₁⊥平面B₁AC，即可证出BC₁⊥AB₁．
【方法二】建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明异面直线垂直．

解答 证明：（1）根据题意，得；
E为B₁C的中点，D为AB₁的中点，所以DE∥AC；
又因为DE?平面AA₁C₁C，AC?平面AA₁C₁C，
所以DE∥平面AA₁C₁C；
（2）【方法一】因为棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以CC₁⊥平面ABC，
因为AC?平面ABC，
所以AC⊥CC₁；
又因为AC⊥BC，
CC₁?平面BCC₁B₁，
BC?平面BCC₁B₁，
BC∩CC₁=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁；
又因为BC₁?平面BCC₁B₁，
所以BC₁⊥AC；
因为BC=CC₁，所以矩形BCC₁B₁是正方形，
所以BC₁⊥平面B₁AC；
又因为AB₁?平面B₁AC，
所以BC₁⊥AB₁．
【方法二】根据题意，A₁C₁⊥B₁C₁，CC₁⊥平面A₁B₁C₁，

以C₁为原点建立空间直角座标系，
C₁A₁为x轴，C₁B₁为y轴，C₁C为z轴，如图所示；
设BC=CC₁=a，AC=b，
则A（b，0，a），B₁（0，a，0），B（0，a，a），C₁（0，0，0）；
∴$\overrightarrow{{AB}_{1}}$=（-b，a，-a），$\overrightarrow{{BC}_{1}}$=（0，-a，-a），
∴$\overrightarrow{{AB}_{1}}$•$\overrightarrow{{BC}_{1}}$=-b×0+a×（-a）-a×（-a）=0，
∴$\overrightarrow{{AB}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{BC}_{1}}$，
即AB₁⊥BC₁．

点评 本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题．