Question

12．设函数f（x）=$\frac{{3{x^2}+ax}}{e^x}$（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，令g（x）=-3x²+（6-a）x+a，由g（x）=0，解得x₁=$\frac{6-a-\sqrt{{a}^{2}+36}}{6}$，x₂=$\frac{6-a+\sqrt{{a}^{2}+36}}{6}$．对x分类讨论：当x＜x₁时；当x₁＜x＜x₂时；当x＞x₂时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x₂=$\frac{6-a+\sqrt{{a}^{2}+36}}{6}$≤3，解得即可．
解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得a≥$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，利用导数研究其最大值即可．

解答 解：（I）f′（x）=$\frac{（6x+a）{e}^{x}-（3{x}^{2}+ax）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，
∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．
当a=0时，f（x）=$\frac{3{x}^{2}}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+6x}{{e}^{x}}$，
∴f（1）=$\frac{3}{e}$，f′（1）=$\frac{3}{e}$，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为$y-\frac{3}{e}=\frac{3}{e}（x-1）$，化为：3x-ey=0；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，令g（x）=-3x²+（6-a）x+a，
由g（x）=0，解得x₁=$\frac{6-a-\sqrt{{a}^{2}+36}}{6}$，x₂=$\frac{6-a+\sqrt{{a}^{2}+36}}{6}$．
当x＜x₁时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；
当x₁＜x＜x₂时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；
当x＞x₂时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．
由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x₂=$\frac{6-a+\sqrt{{a}^{2}+36}}{6}$≤3，解得a≥-$\frac{9}{2}$．
因此a的取值范围为：$[-\frac{9}{2}，+∞）$．
解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，
可得a≥$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，在[3，+∞）上恒成立．
令u（x）=$\frac{-3{x}^{2}+6x}{x-1}$，u′（x）=$\frac{-3[（x-1）^{2}+1]}{（x-1）^{2}}$＜0，
∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，
∴a≥u（3）=-$\frac{9}{2}$．
因此a的取值范围为：$[-\frac{9}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题．