Question

10．设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{10}$
（Ⅰ）求E的离心率e；
（Ⅱ）设点C的坐标为（0，-b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为$\frac{7}{2}$，求E的方程．

Answer 1

分析 （I）由于点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，即$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}$，可得$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$．利用${k}_{OM}=\frac{\sqrt{5}}{10}$，可得$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$．
（II）由（I）可得直线AB的方程为：$\frac{x}{\sqrt{5}b}+\frac{y}{b}$=1，利用中点坐标公式可得N．设点N关于直线AB的对称点为S$（{x}_{1}，\frac{7}{2}）$，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，可得b，解得即可．

解答 解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}$，
∵A（a，0），B（0，b），∴$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$=$（\frac{2}{3}a，\frac{1}{3}b）$．
∵${k}_{OM}=\frac{\sqrt{5}}{10}$，∴$\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{5}}{10}$，a=$\sqrt{5}$b．
∴$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（II）由（I）可得直线AB的方程为：$\frac{x}{\sqrt{5}b}+\frac{y}{b}$=1，N$（\frac{\sqrt{5}b}{2}，-\frac{1}{2}b）$．
设点N关于直线AB的对称点为S$（{x}_{1}，\frac{7}{2}）$，线段NS的中点T$（\frac{\sqrt{5}}{4}b+\frac{{x}_{1}}{2}，-\frac{1}{4}b+\frac{7}{4}）$，
又AB垂直平分线段NS，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\frac{\sqrt{5}b}{4}+\frac{1}{2}{x}_{1}}{\sqrt{5}b}+\frac{-\frac{1}{4}b+\frac{7}{4}}{b}=1}\\{\frac{\frac{7}{2}+\frac{1}{2}b}{{x}_{1}-\frac{\sqrt{5}}{2}b}=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，解得b=3，
∴a=3$\sqrt{5}$．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．