Question

19．设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（　　）
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）

• A． 命题①和命题②都成立
• B． 命题①和命题②都不成立
• C． 命题①成立，命题②不成立
• D． 命题①不成立，命题②成立

Answer 1

分析 命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，
③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．

解答 解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card（A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，
若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，
命题②，d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），d（B，C）=card（B∪C）-card（B∩C），
∴d（A，B）+d（B，C）=card（A∪B）-card（A∩B）+card（B∪C）-card（B∩C）=[card（A∪B）+card（B∪C）]-[card（A∩B）+card（B∩C）]
≥card（A∪C）-card（A∩C）=d（A，C），故命题②成立，
故选：A

点评 本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．