Question

17．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．
（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）求二面角A-EG-M的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；
（Ⅱ）利用线面平行的判定定理即可证明直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解．
法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）F、G、H的位置如图；
证明：（Ⅱ）连接BD，设O是BD的中点，
∵BC的中点为M、GH的中点为N，
∴OM∥CD，OM=$\frac{1}{2}$CD，
HN∥CD，HN=$\frac{1}{2}$CD，
∴OM∥HN，OM=HN，
即四边形MNHO是平行四边形，
∴MN∥OH，
∵MN?平面BDH；OH?面BDH，
∴直线MN∥平面BDH；
（Ⅲ）方法一：
连接AC，过M作MH⊥AC于P，
则正方体ABCD-EFGH中，AC∥EG，
∴MP⊥EG，
过P作PK⊥EG于K，连接KM，
∴EG⊥平面PKM
则KM⊥EG，
则∠PKM是二面角A-EG-M的平面角，
设AD=2，则CM=1，PK=2，
在Rt△CMP中，PM=CMsin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△PKM中，KM=$\sqrt{P{K}^{2}+P{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴cos∠PKM=$\frac{PK}{KM}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
即二面角A-EG-M的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
方法二：以D为坐标原点，

分别为DA，DC，DH方向为x，y，z轴建立空间坐标系如图：
设AD=2，则M（1，2，0），G（0，2，2），E（2，0，2），O（1，1，0），
则$\overrightarrow{GE}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{MG}=（-1，0，2）$，
设平面EGM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MG}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y=0}\\{-x+2z=0}\end{array}\right.$，令x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
在正方体中，DO⊥平面AEGC，
则$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{DO}$=（1，1，0）是平面AEG的一个法向量，
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2+2}{\sqrt{9}×\sqrt{2}}$=$\frac{4}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
二面角A-EG-M的余弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空间面面夹角的计算，考查空间想象能力，推理能力，运算求解能力．