Question

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=$\frac{π}{4}$，b²-a²=$\frac{1}{2}$c²．
（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得：${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{4}$，已知b²-a²=$\frac{1}{2}$c²．可得$b=\frac{3\sqrt{2}c}{4}$，a=$\frac{\sqrt{10}}{4}c$．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$，即可得出tanC=$\frac{sinC}{cosC}$．
（2）由${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{10}}{4}c×\frac{3\sqrt{2}}{4}c$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=3，可得c，即可得出b．

解答 解：（1）∵A=$\frac{π}{4}$，∴由余弦定理可得：${a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{4}$，∴b²-a²=$\sqrt{2}$bc-c²，
又b²-a²=$\frac{1}{2}$c²．∴$\sqrt{2}$bc-c²=$\frac{1}{2}$c²．∴$\sqrt{2}$b=$\frac{3}{2}$c．可得$b=\frac{3\sqrt{2}c}{4}$，
∴a²=b²-$\frac{1}{2}{c}^{2}$=$\frac{5}{8}{c}^{2}$，即a=$\frac{\sqrt{10}}{4}c$．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\frac{5}{8}{c}^{2}+\frac{9}{8}{c}^{2}-{c}^{2}}{2×\frac{\sqrt{10}}{4}c×\frac{3\sqrt{2}}{4}c}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵C∈（0，π），
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴tanC=$\frac{sinC}{cosC}$=2．
或由A=$\frac{π}{4}$，b²-a²=$\frac{1}{2}$c²．
可得：sin²B-sin²A=$\frac{1}{2}$sin²C，
∴sin²B-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin²C，
∴-$\frac{1}{2}$cos2B=$\frac{1}{2}$sin²C，
∴-sin$（2B+\frac{π}{2}）$=sin²C，
∴-sin$[2（\frac{3π}{4}-C）+\frac{π}{2}]$=sin²C，
∴sin2C=sin²C，
∴tanC=2．
（2）∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{10}}{4}c×\frac{3\sqrt{2}}{4}c$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=3，
解得c=2$\sqrt{2}$．
∴$b=\frac{3\sqrt{2}c}{4}$=3．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．