Question

16．设f_n（x）是等比数列1，x，x²，…，xⁿ的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．
（Ⅰ）证明：函数F_n（x）=f_n（x）-2在（$\frac{1}{2}$，1）内有且仅有一个零点（记为x_n），且x_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$x${\;}_{n}^{n+1}$；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g_n（x），比较f_n（x）和g_n（x）的大小，并加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由F_n（x）=f_n（x）-2=1+x+x²+…++xⁿ-2，求得F_n（1）＞0，F_n（$\frac{1}{2}$）＜0．再由导数判断出函数F_n（x）在（$\frac{1}{2}$，1）内单调递增，得到F_n（x）在（$\frac{1}{2}$，1）内有且仅有一个零点x_n，由F_n（x_n）=0，得到${x}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{x}_{n}}^{n+1}$；
（Ⅱ）先求出${g}_{n}（x）=\frac{（n+1）（1+{x}^{n}）}{2}$，构造函数h（x）=f_n（x）-g_n（x）=1+x+x²+…++xⁿ-$\frac{（n+1）（1+{x}^{n}）}{2}$，当x=1时，f_n（x）=g_n（x）．
当x≠1时，利用导数求得h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到f_n（x）＜g_n（x）．

解答 证明：（Ⅰ）由F_n（x）=f_n（x）-2=1+x+x²+…+xⁿ-2，
则F_n（1）=n-1＞0，
F_n（$\frac{1}{2}$）=1+$\frac{1}{2}+$$（\frac{1}{2}）^{2}+…+（\frac{1}{2}）^{n}-2=\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}-2=-\frac{1}{{2}^{n}}＜0$．
∴F_n（x）在（$\frac{1}{2}$，1）内至少存在一个零点，
又${F}_{n}′（x）=1+2x+…+n{x}^{n-1}＞0$，∴F_n（x）在（$\frac{1}{2}$，1）内单调递增，
∴F_n（x）在（$\frac{1}{2}$，1）内有且仅有一个零点x_n，
∵x_n是F_n（x）的一个零点，∴F_n（x_n）=0，
即$\frac{1-{{x}_{n}}^{n+1}}{1-{x}_{n}}-2=0$，故${x}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{x}_{n}}^{n+1}$；
（Ⅱ）由题设，${g}_{n}（x）=\frac{（n+1）（1+{x}^{n}）}{2}$，
设h（x）=f_n（x）-g_n（x）=1+x+x²+…+xⁿ-$\frac{（n+1）（1+{x}^{n}）}{2}$，x＞0．
当x=1时，f_n（x）=g_n（x）．
当x≠1时，$h′（x）=1+2x+…+n{x}^{n-1}-\frac{n（n+1）{x}^{n-1}}{2}$．
若0＜x＜1，h′（x）＞${x}^{n-1}+2{x}^{n-1}+…+n{x}^{n-1}-\frac{n（n+1）{x}^{n-1}}{2}$=$\frac{n（n+1）{x}^{n-1}}{2}-\frac{n（n+1）{x}^{n-1}}{2}=0$．
若x＞1，h′（x）＜${x}^{n-1}+2{x}^{n-1}+…+n{x}^{n-1}-\frac{n（n+1）{x}^{n-1}}{2}$=$\frac{n（n+1）{x}^{n-1}}{2}-\frac{n（n+1）{x}^{n-1}}{2}=0$．
∴h（x）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，
∴h（x）＜h（1）=0，即f_n（x）＜g_n（x）．
综上，当x=1时，f_n（x）=g_n（x）；
当x≠1时，f_n（x）＜g_n（x）．

点评 本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题．