Question

6．如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位线得出OM∥VB，利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；
（2）证明：OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB
（3）利用等体积法求三棱锥V-ABC的体积．

解答 （1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB，
∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（2）∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC?平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB
（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AB=2，OC=1，
∴S_△VAB=$\sqrt{3}$，
∵OC⊥平面VAB，
∴V_C-VAB=$\frac{1}{3}OC$•S_△VAB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴V_V-ABC=V_C-VAB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键．