Question

17．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 首先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，M（0，y，2），从而可求出向量$\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{AF}$的坐标，由cosθ=$|cos＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{AF}＞|$得到$cosθ=\frac{2-y}{\sqrt{5}•\sqrt{{y}^{2}+5}}$，对函数$\frac{2-y}{\sqrt{5}•\sqrt{{y}^{2}+5}}$求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cosθ的最大值．

解答 解：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，则：
A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）；
M在线段PQ上，设M（0，y，2），0≤y≤2；
∴$\overrightarrow{EM}=（-1，y，2），\overrightarrow{AF}=（2，1，0）$；
∴cosθ=$|cos＜\overrightarrow{EM}，\overrightarrow{AF}＞|$=$\frac{2-y}{\sqrt{{y}^{2}+5}•\sqrt{5}}$；
设f（y）=$\frac{2-y}{\sqrt{{y}^{2}+5}•\sqrt{5}}$，$f′（y）=\frac{-2y-5}{\sqrt{5}（{y}^{2}+5）\sqrt{{y}^{2}+5}}$；
函数g（y）=-2y-5是一次函数，且为减函数，g（0）=-5＜0；
∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0；
∴f（y）在[0，2]上单调递减；
∴y=0时，f（y）取到最大值$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系．