Question

9．如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F-AE-B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F-AE-B的余弦值；
（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值

解答 证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，
∴AO⊥EF，
∵平面AEF⊥平面EFCB，AO?平面AEF，
∴AO⊥平面EFCB
∴AO⊥BE．
（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，
∵EFCB是等腰梯形，
∴OG⊥EF，
由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，
∵OG?平面EFCB，∴OA⊥OG，
建立如图的空间坐标系，
则OE=a，BG=2，GH=a，（a≠2），BH=2-a，EH=BHtan60°=$\sqrt{3}（2-a）$，
则E（a，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$a），B（2，$\sqrt{3}（2-a）$，0），
$\overrightarrow{EA}$=（-a，0，$\sqrt{3}$a），$\overrightarrow{BE}$=（a-2，-$\sqrt{3}（2-a）$，0），
设平面AEB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-ax+\sqrt{3}az=0}\\{（a-2）x+\sqrt{3}（a-2）y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则x=$\sqrt{3}$，y=-1，
即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，1），
平面AEF的法向量为$\overrightarrow{m}=（0，1，0）$，
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
即二面角F-AE-B的余弦值为$-\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，
则BE⊥OC，
即$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OC}$=0，
∵$\overrightarrow{BE}$=（a-2，-$\sqrt{3}（2-a）$，0），$\overrightarrow{OC}$=（-2，$\sqrt{3}（2-a）$，0），
∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OC}$=-2（a-2）-3（a-2）²=0，
解得a=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．