Question

19．已知实数a，b，c满足$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{4}$b²+c²=1，则ab+2bc+2ca的取值范围是（　　）

• A． （-∞，4]
• B． [-4，4]
• C． [-2，4]
• D． [-1，4]

Answer 1

分析 把已知的等式变形，得到2a²+2b²+8c²=8，然后结合基本不等式求得ab+2bc+2ca≤4；再由（$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b+c）²≥0，结合已知的等式求得ab+2bc+2ca≥-2．

解答 解：由$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{4}$b²+c²=1，得a²+b²+4c²=4，即2a²+2b²+8c²=8．
∴8=2a²+2b²+8c²=（a²+b²）+（a²+4c²）+（b²+4c²）≥2ab+4ac+4bc．
∴ab+2bc+2ca≤4（当且仅当a=b=2c时取等号）；
又$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{4}$b²+c²+2（$\frac{1}{4}$ab+$\frac{1}{2}$bc+$\frac{1}{2}$ca）=（$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b+c）²≥0，
∴1+$\frac{1}{2}$（ab+2bc+2ca）≥0，
∴ab+2bc+2ca≥-2．
则ab+2bc+2ca的取值范围是[-2，4]．
故选：C．

点评 本题考查基本不等式求最值，考查了灵活变形能力，是中档题．