Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2sinx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx-$\sqrt{3}$cosx，-2），函数f（x）=（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$+t．
（Ⅰ）若f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上有三个零点，求t的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，若f（A）=2，且t=0，求b+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积运算，结合二倍角、辅助角公式化简函数，利用f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上有三个零点，即f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的图象与x轴有三个不同的交点，即可求t的值；
（Ⅱ）先求出A，利用三角形ABC的面积S=$\sqrt{3}$，结合余弦定理，求b+c的值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）•$\overrightarrow{m}$+t=（sinx+$\sqrt{3}$cosx，-1）•（2sinx，-1）+t
=2$\sqrt{3}$sinxcos+2sin²x=1+t=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+t=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+t，…（3分）
因为x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，所以-$\frac{7π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，…（4分）．
因为f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上有三个零点，即f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的图象与x轴有三个不同的交点，
所以t=-1，…．（6分）
（Ⅱ）根据题意f（A）=2且t=0，即sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，所以2A-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
因为0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．
因为S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$，所以bc=4，
根据余弦定理得16=b²+c²-bc，
所以（b+c）²=16+3bc=28，所以b+c=2$\sqrt{7}$． （12分）

点评 本题考查向量的数量积运算，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．