Question

16．△ABC满足A=2B，C为钝角，三边长为整数，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

分析 由正弦定理可得：利用倍角公式可得，化为c=3b-4b[1-$（\frac{a}{2b}）^{2}$，结合A=2B，C=π-A-B=π-3B可求cosB的范围，进而可得1.732b＜a＜2b，可求能取得的最小整数是b，a，又c是整数，可得出．

解答 解：由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{bsin2B}{sinB}$=2bcosB，
∴$\frac{a}{2b}=cosB$，
∵c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{bsin3B}{sinB}$=$\frac{bsin（2B+B）}{sinB}$=$\frac{bsin2BcosB+bsinBcos2B}{sinB}$=2bcos²B+bcos2B=3b-4bsin²B=3b-4b（1-cos²B），
∴c=3b-4b[1-$（\frac{a}{2b}）^{2}$
化为，c=$\frac{{a}^{2}}{b}-b$，
∵A=2B，C=π-A-B=π-3B$＞\frac{1}{2}π$，可得$0＜B＜\frac{π}{6}$，
$\frac{\sqrt{3}}{2}＜cosB＜1$，
∴1.732b＜a＜2b，能取得的最小整数是b=4，a=7，
又c=$\frac{{a}^{2}}{b}-b$为整数，
∴将4与7扩大4倍得到16与28，
∴c=33．
∴△ABC的周长最小值为16+28+33=77．

点评 本题考查了正弦定理、倍角公式、同角三角函数进步关系式、三角函数的单调性、整数的理论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．