Question

14．已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求y=lnf（x）的单调增区间；
（2）求f（x）的最小值以及相应的x的集合．

Answer 1

分析 f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的余弦函数，
（1）由y=lnx为增函数，找出余弦函数增区间即可；
（2）根据余弦函数的值域确定出f（x）的最小值，以及此时x的集合即可．

解答 解：f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x=cos⁴x-sin⁴x-2sinxcosx=cos2x-sin2x=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
（1）y=lnf（x）=ln[$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）]，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，k∈Z，
解得：kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ-$\frac{π}{8}$，k∈Z，
则y=lnf（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ-$\frac{π}{8}$]，k∈Z；
（2）∵-1≤cos（2x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
则f（x）的最小值为-$\sqrt{2}$，相应的x的集合为{x|x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z}．

点评 此题考查了余弦函数的值域，函数的单调性，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．