Question

5．已知函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），写出它的单调递增区间[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈z，对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈z；对称点坐标为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈z，在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域[-$\sqrt{3}$，2]，在区间[0，2]上的单调递减区间[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]，y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥1的解集为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈z，将y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）向右移动m个单位得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小正值是$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 由条件根据正弦函数的单调性、对称性、定义域和值域、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得结果．

解答 解：对于函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得它的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈z．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，可得它的对称轴方程为 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈z．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，求得 x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，可得它的对称点为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈z．
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，故f（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]，即函数在[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．
令2kπ$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，可得它的增区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈z；可得它区间[0，2]上的单调递减区间为[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]．
由y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥1，求得sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥$\frac{1}{2}$，可得2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，
可得不等式y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）≥1的解集为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈z．
将y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）向右移动m个单位得到的函数y=2sin[2（x-m）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-2m+$\frac{π}{3}$）的图象，
再根据所得图象关于y轴对称，可得-2m+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得m=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，可得则m的最小正值是$\frac{5π}{12}$．
故答案为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈z； x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈z； （$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈z；[-$\sqrt{3}$，2]；[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]；
[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈z；$\frac{5π}{12}$．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、对称性、定义域和值域、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．