Question

17．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x，x∈R
（1）求函数f（x）的单调增区间
（2）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a，b，c，若f（A）=2，C=$\frac{π}{4}$，c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），然后结合正弦函数的单调性即可求解f（x）的单调递增区间
（II）由已知代入可求A，然后依据正弦定理，可求a，B，代入三角形的面积公式${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB$可求

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos2x，x∈R）
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x$ …（1分）
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．…（3分）
由$2kπ-\frac{1}{2}π≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{1}{2}π$，k∈Z，
解得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈Z．…（5分）
∴函数f（x）的单调递增区间是[k$π-\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{1}{3}π$]，k∈Z．…（6分）
（Ⅱ）∵在△ABC中，f（A）=2，C=$\frac{π}{4}$，c=2，
∴2sin（2A-$\frac{π}{6}$）=2解得A=k$π+\frac{1}{3}π$，k∈Z．…（8分）
又0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{3}$．…（9分）
依据正弦定理，有$\frac{a}{sin\frac{π}{3}}=\frac{c}{sin\frac{π}{4}}$，解得a=$\sqrt{6}$．…（10分）
∴B=π-A-C=$\frac{5π}{12}$．…（11分）
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．…（13分）

点评 本通综合考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数性质的应用及正弦定理、三角形面积公式的应用．