Question

10．已知函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{2}{3}$π，$\frac{2}{3}$π]上单调递增，求ω的最大值．

Answer 1

分析 根据三角函数的单调性求出函数的递增求解，结合函数单调区间端点之间的关系进行求解即可．

解答 解：函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{2}{3}$π，$\frac{2}{3}$π]上单调递，可得ω＞0
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$\frac{2kπ}{ω}$-$\frac{5π}{6ω}$≤x≤$\frac{2kπ}{ω}$+$\frac{π}{6ω}$，（ω＞0）
∵函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）在[-$\frac{2}{3}$π，$\frac{2}{3}$π]上单调递增，
∴当k=0时，函数的递增区间为-$\frac{5π}{6ω}$≤x≤$\frac{π}{6ω}$，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{6ω}≥\frac{2π}{3}}\\{-\frac{5π}{6ω}≤-\frac{2π}{3}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{ω≤\frac{1}{4}}\\{ω≤\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，即0＜ω≤$\frac{1}{4}$，
故ω的最大值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数单调性和单调区间的求解，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．