Question

15．已知x，y∈（0，+∞），3^x-2=（$\frac{1}{3}$）^y，则$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值为$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用指数函数性质可得x+y=2，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵x，y∈（0，+∞），3^x-2=（$\frac{1}{3}$）^y，
∴3^x-2=3^-y，∴x-2=-y，即x+y=2．
则$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=$\frac{1}{2}（x+y）（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$=$\frac{1}{2}（3+\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}）$$≥\frac{1}{2}（3+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}）$=$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．当且仅当y=$\sqrt{2}$x=2$（2-\sqrt{2}）$，
故答案为：$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$．

点评 本题考查了指数函数性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．