Question

15．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量$\vec a、\vec b$满足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，则下列结论中正确的是①④⑤．（写出所有正确结论得序号）
①$\vec a$为单位向量；②$\vec b$为单位向量；③$\vec a⊥\vec b$；④$\overrightarrow{b}$∥$\overrightarrow{BC}$；⑤（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{BC}$．

Answer 1

分析 利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．

解答 解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量$\vec a、\vec b$满足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，AB=2，所以|$\overrightarrow{a}$|=1，即$\overrightarrow{a}$是单位向量；①正确；
因为$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，所以$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$，故|$\overrightarrow{b}$|=2；故②错误；④正确；
$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为120°，故③错误；
⑤（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{BC}$=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=4×1×2×cos120°+4=-4+4=0；故⑤正确．
故答案为：①④⑤．

点评 本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系．