Question

20．设a＞0，b＞0，且a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$．证明：
（ⅰ）a+b≥2；
（ⅱ）a²+a＜2与b²+b＜2不可能同时成立．

Answer 1

分析 （ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；
（ⅱ）运用反证法证明．假设a²+a＜2与b²+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．

解答 证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，
则a+b=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{ab}$，
由于a+b＞0，则ab=1，
即有a+b≥2$\sqrt{ab}$=2，
当且仅当a=b取得等号．
则a+b≥2；
（ⅱ）假设a²+a＜2与b²+b＜2可能同时成立．
由a²+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，
由b²+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，
这与ab=1矛盾．
a²+a＜2与b²+b＜2不可能同时成立．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法，属于中档题．