Question

8．设函数f（x）=e^mx+x²-mx．
（1）证明：f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[-1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．

解答 解：（1）证明：f′（x）=m（e^mx-1）+2x．
若m≥0，则当x∈（-∞，0）时，e^mx-1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e^mx-1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（-∞，0）时，e^mx-1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e^mx-1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（-∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[-1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1的充要条件是$\left\{\begin{array}{l}{f（1）-f（0）≤e-1}\\{f（-1）-f（0）≤e-1}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}-m≤e-1}\\{{e}^{-m}+m≤e-1}\end{array}\right.①$
设函数g（t）=e^t-t-e+1，则g′（t）=e^t-1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）=0，g（-1）=e^-1+2-e＜0，故当t∈[-1，1]时，g（t）≤0．
当m∈[-1，1]时，g（m）≤0，g（-m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e^m-m＞e-1．
当m＜-1时，g（-m）＞0，即e^-m+m＞e-1．
综上，m的取值范围是[-1，1]

点评 本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．