Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，a₂=2，a_n+2=3S_n-S_n+1+3，n∈N^*，
（Ⅰ）证明a_n+2=3a_n；
（Ⅱ）求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥2时，通过a_n+2=3S_n-S_n+1+3与a_n+1=3S_n-1-S_n+3作差，然后验证当n=1时命题也成立即可；
（Ⅱ）通过（I）写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：当n≥2时，由a_n+2=3S_n-S_n+1+3，
可得a_n+1=3S_n-1-S_n+3，
两式相减，得a_n+2-a_n+1=3a_n-a_n+1，
∴a_n+2=3a_n，
当n=1时，有a₃=3S₁-S₂+3=3×1-（1+2）+3=3，
∴a₃=3a₁，命题也成立，
综上所述：a_n+2=3a_n；
（Ⅱ）解：由（I）可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2k-1}={a}_{1}×{3}^{k-1}={3}^{k-1}}\\{{a}_{2k}={a}_{2}×{3}^{k-1}=2×{3}^{k-1}}\end{array}\right.$，其中k是任意正整数，
∴S_2k-1=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2k-3+a_2k-2）+a_2k-1
=3+3²+…+3^k-1+3^k-1
=$\frac{3（1-{3}^{k-1}）}{1-3}$+3^k-1
=$\frac{5}{2}$×3^k-1-$\frac{3}{2}$，
S_2k=S_2k-1+a_2k=$\frac{5}{2}$×3^k-1-$\frac{3}{2}$+2×3^k-1=$\frac{{3}^{k+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$，
综上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}×{3}^{\frac{n-1}{2}}-\frac{3}{2}，}&{n为奇数}\\{\frac{{3}^{\frac{n+2}{2}}}{2}-\frac{3}{2}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．