Question

6．（1）在△ABC中，∠B为锐角，且sinA+sinC=psinB，ac=$\frac{1}{4}$b²，求p的取值范围；
（2）在△ABC中，∠B为锐角，且sinA+sinC=psinB，ac=b²，求p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由sinA+sinC=psinB，由正弦定理可得：a+c=pb．由∠B为锐角，可得0＜cosB＜1．由余弦定理可得：b²=p²b²-$\frac{1}{2}$b²-$\frac{1}{2}{b}^{2}$cosB，化为p²=$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}cosB$，即可得出．
（2）类比（1）即可得出．

解答 解：（1）∵sinA+sinC=psinB，∴由正弦定理可得：a+c=pb，
∵∠B为锐角，∴0＜cosB＜1．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB=p²b²-$\frac{1}{2}$b²-$\frac{1}{2}{b}^{2}$cosB，
化为p²=$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}cosB$，
∴$\frac{3}{2}＜{p}^{2}$＜2，p为正数．
解得$\frac{\sqrt{6}}{2}＜p＜\sqrt{2}$
∴p的取值范围是$（\frac{\sqrt{6}}{2}，\sqrt{2}）$．
（2）∵sinA+sinC=psinB，∴由正弦定理可得：a+c=pb，∵∠B为锐角，∴0＜cosB＜1．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB=p²b²-2b²-2b²cosB，
化为p²=3+2cosB，∴3＜p²＜5，p为正数．
解得$\sqrt{5}$＞p$＞\sqrt{3}$．
∴p的取值范围是$（\sqrt{3}，\sqrt{5}）$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、配方法、不等式的性质、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．