Question

18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=$\frac{2π}{3}$时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（　　）

• A． f（2）＜f（-2）＜f（0）
• B． f（0）＜f（2）＜f（-2）
• C． f（-2）＜f（0）＜f（2）
• D． f（2）＜f（0）＜f（-2）

Answer 1

分析 依题意可求ω=2，又当x=$\frac{2π}{3}$时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．

解答 解：依题意得，函数f（x）的周期为π，
∵ω＞0，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2．
又∵当x=$\frac{2π}{3}$时，函数f（x）取得最小值，
∴2×$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）=Asin（2x+2kπ+$\frac{π}{6}$）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴f（-2）=Asin（-4+$\frac{π}{6}$）=Asin（$\frac{π}{6}$-4+2π）＞0．
f（2）=Asin（4+$\frac{π}{6}$）＜0，
f（0）=Asin$\frac{π}{6}$=Asin$\frac{5π}{6}$＞0，
又∵$\frac{3π}{2}$＞$\frac{π}{6}$-4+2π＞$\frac{5π}{6}$＞$\frac{π}{2}$，而f（x）=Asinx在区间（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）是单调递减的，
∴f（2）＜f（-2）＜f（0）．
故选：A．

点评 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．