Question

3．设n∈N^*，x_n是曲线y=x²ⁿ⁺²+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标．
（Ⅰ）求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n=x₁²x₃²…x_2n-1²，证明：T_n≥$\frac{1}{4n}$．

Answer 1

分析 （1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标；
（2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．

解答 解：（1）y'=（x²ⁿ⁺²+1）'=（2n+2）x²ⁿ⁺¹，曲线y=x²ⁿ⁺²+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，
从而切线方程为y-2=（2n+2）（x-1）
令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为${x}_{n}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，
（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：
T_n=x₁²x₃²…x_2n-1²=${（\frac{1}{2}）}^{2}{（\frac{3}{4}）}^{2}•…•{（\frac{2n-1}{2n}）}^{2}$，
当n=1时，${T}_{1}=\frac{1}{4}$，
当n≥2时，因为x_2n-1²=$（\frac{2n-1}{2n}）^{2}$=$\frac{（2n-1）^{2}}{（2n）^{2}}$＞$\frac{（2n-1）^{2}-1}{（2n）^{2}}$=$\frac{2n-2}{2n}$=$\frac{n-1}{n}$，
所以T_n$＞（\frac{1}{2}）^{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×…×\frac{n-1}{n}=\frac{1}{4n}$；
综上所述，可得对任意的n∈N₊，均有${T}_{n}≥\frac{1}{4n}$．

点评 本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．