Question

8．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sin（A+B）=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，ac=2$\sqrt{3}$，求sinA和c的值．

Answer 1

分析 ①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；
②利用正弦定理解之．

解答 解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
sin（A+B）=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，ac=2$\sqrt{3}$，所以sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，
所以sinA+$\sqrt{2}$cosA=$\frac{\sqrt{2}}{3}$①，结合平方关系sin²A+cos²A=1②，
由①②解得27sin²A-6$\sqrt{2}$sinA-16=0，
解得sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$或者sinA=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$（舍去）；
②由正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$由①可知sin（A+B）=sinC=$\frac{\sqrt{6}}{9}$，sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
所以a=2$\sqrt{3}$c，又ac=2$\sqrt{3}$，所以c=1．

点评 本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识．