Question

18．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求$\frac{PM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用V_P-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC•PA，求三棱锥P-ABC的体积；
（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求$\frac{PM}{MC}$的值．

解答 （1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
可得S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•AC•sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
因为PA⊥平面ABC，PA=1，
所以V_P-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC•PA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，
由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，
因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．
因为BM?平面MBN，所以AC⊥BM．
在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，
从而NC=AC-AN=$\frac{3}{2}$．
由MN∥PA得$\frac{PM}{MC}$=$\frac{AN}{NC}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查三棱锥P-ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．