Question

18．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，点P（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1）在椭圆Γ上．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）过Γ的右焦点F作两条垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，证明：直线MN必过定点，并求此定点．

Answer 1

分析 解：（Ⅰ）设出所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$．由椭圆的离心率及点P在椭圆上列式求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）求出椭圆右焦点F的坐标，然后分弦AB，CD的斜率均存在和弦AB或CD的斜率不存在两种情况求解．当斜率均存在时，写出直线AB的方程，代入椭圆方程后化简，
利用根与系数关系求得M坐标，同理求得N的坐标．进一步分k≠±1和k=±1求得直线MN的方程，从而说明直线MN过定点，当弦AB或CD的斜率不存在时，易知，直线MN为x轴，也过点（$\frac{3}{5}，0$）．

解答 解：（Ⅰ）由题意可设所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$．
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{4{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得：a²=3，b²=2．
即椭圆Γ的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）由题意得F（1，0），
（1）当弦AB，CD的斜率均存在时，
设AB的斜率为k，则CD的斜率为$-\frac{1}{k}$．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB中点M（x₀，y₀）．
将直线AB方程代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
并化简得（3k²+2）x²-6k²x+（3k²-6）=0．
则${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，${y}_{0}=k（{x}_{0}-1）=-\frac{2k}{3{k}^{2}+2}$，于是M（$\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}，-\frac{2k}{3{k}^{2}+2}$）．
∵CD⊥AB，∴将点M坐标中的k换为$-\frac{1}{k}$，
即得点$N（\frac{3}{2{k}^{2}+3}，\frac{2k}{2{k}^{2}+3}）$．
①当k≠±1时，直线MN的方程为$y-\frac{2k}{2{k}^{2}+3}=-\frac{5k}{3{k}^{2}-3}（x-\frac{3}{2{k}^{2}+3}）$．
令y=0，得x=$\frac{3}{5}$，则直线MN过定点（$\frac{3}{5}，0$）；
②当k=±1时，易得直线MN的方程x=$\frac{3}{5}$，也过点（$\frac{3}{5}，0$）．
（2）当弦AB或CD的斜率不存在时，易知，直线MN为x轴，也过点（$\frac{3}{5}，0$）．
综上，直线MN必过定点（$\frac{3}{5}，0$）．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，涉及直线和圆锥曲线问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数关系求解，是中档题．