Question

6．正项数列{a_n}，a₁=1，且a_n•a_n+1²=3⁶，求a_n的通项公式．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式两边取对数，得到log₃a_n+2log₃a_n+1=6，换元后构造等比数列，然后利用等比数列的通项公式得答案．

解答 解：由a_n•a_n+1²=3⁶，两边取以3为底数的对数，得
log₃a_n+2log₃a_n+1=6，
设b_n=log₃a_n，
∵a₁=1，∴b₁=log₃a₁=log₃1=0．
b_n+2b_n+1=6，即${b}_{n+1}=-\frac{1}{2}{b}_{n}+3$．
∴${b}_{n+1}-2=-\frac{1}{2}（{b}_{n}-2）$．
∴${b}_{n}-2=（{b}_{1}-2）•（-\frac{1}{2}）^{n-1}=（-\frac{1}{2}）^{n-2}$．
则${b}_{n}=2+（-\frac{1}{2}）^{n-2}$，
∴${a}_{n}={3}^{{b}_{n}}={3}^{2+（-\frac{1}{2}）^{n-2}}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式及对数性质的应用，是中档题．