Question

11．已知f（x）=$\frac{3x}{x+3}$，数列{a_n}满足a_n=f（a_n-1）（n＞1，n∈N^*，a₁≠0）
（1）求证：{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）若a₁=$\frac{1}{4}$，求a₄₀的值．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系，利用取倒数发即可证明{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）根据等差数列的通项公式，求出数列的通项公式即可求a₄₀的值．

解答 证明：（1）∵a_n=f（a_n-1）（n＞1，n∈N^*，a₁≠0）
∴a_n=f（a_n-1）=$\frac{3{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+3}$，
取倒数得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+3}{3{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
即{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，公差d=$\frac{1}{3}$；
解：（2）∵{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，公差d=$\frac{1}{3}$；
∴若a₁=$\frac{1}{4}$，则首项为$\frac{1}{{a}_{1}}$=4，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$=4+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{n+11}{3}$，
即a_n=$\frac{3}{n+11}$，
则a₄₀=$\frac{3}{40+11}=\frac{3}{51}$=$\frac{1}{17}$．

点评 本题主要考查等差数列的应用，利用取倒数法证明等差数列是解决本题的关键．