Question

20．已知直线y=$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$与幂函数f（x）=x^m（m≠0）的图象将于A、B两点，且|AB|=$\sqrt{10}$，则m的值为（　　）

• A． -2
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 分别取幂函数的指数为四个选项，然后判断交点情况，若有两个交点，求出直线被曲线所截线段长，则答案可求．

解答 解：若m=-2，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\\{y={x}^{-2}}\end{array}\right.$，得（x-1）（x²+3x+3）=0，即x=1．
说明m=-2时，直线y=$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$与幂函数f（x）=x^m（m≠0）的图象只有一个交点，不合题意；
由幂函数的图象可知，m=-$\frac{1}{2}$时，直线y=$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$与幂函数f（x）=x^m（m≠0）的图象只有一个交点，不合题意；
当m=$\frac{1}{2}$时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\\{y={x}^{\frac{1}{2}}}\end{array}\right.$，得$x-3\sqrt{x}+2=0$，解得x₁=1，x₂=4．
当x₁=1时，y₁=1；当x₂=4时，y₂=2．
∴A（1，1），B（4，2）．
则$|AB|=\sqrt{（4-1）^{2}+（2-1）^{2}}=\sqrt{10}$，符合题意；
当m=2时，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，解得A（$-\frac{2}{3}，\frac{4}{9}$），B（1，1），
|AB|=$\sqrt{（1+\frac{2}{3}）^{2}+（1-\frac{4}{9}）^{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$，不合题意．
故选：C．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了直线和曲线的交点问题，是中档题．