Question

2．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x₁）-g（x₂）|=2的x₁、x₂，有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{3}$，则φ=（　　）

• A． $\frac{5π}{12}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 利用三角函数的最值，求出自变量x₁，x₂的值，然后判断选项即可．

解答 解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x₁）-g（x₂）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{3}$，
不妨x₁=$\frac{π}{4}$，x₂=$\frac{7π}{12}$，即g（x）在x₂=$\frac{7π}{12}$，取得最小值，sin（2×$\frac{7π}{12}$-2φ）=-1，此时φ=$-\frac{π}{6}$，不合题意，
x₁=$\frac{3π}{4}$，x₂=$\frac{5π}{12}$，即g（x）在x₂=$\frac{5π}{12}$，取得最大值，sin（2×$\frac{5π}{12}$-2φ）=1，此时φ=$\frac{π}{6}$，满足题意．
另解：f（x）=sin2x，g（x）=sin（2x-2φ），设2x₁=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，2x₂-2φ=-$\frac{π}{2}$+2mπ，m∈Z，
x₁-x₂=$\frac{π}{2}$-φ+（k-m）π，
由|x₁-x₂|_min=$\frac{π}{3}$，可得$\frac{π}{2}$-φ=$\frac{π}{3}$，解得φ=$\frac{π}{6}$，
故选：D．

点评 本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．