Question

7．如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
（1）∠MEN+∠NOM=180°
（2）FE•FN=FM•FO．

Answer 1

分析 （1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°
（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．

解答 证明：（1）∵N为CD的中点，
∴ON⊥CD，
∵M为AB的中点，
∴OM⊥AB，
在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，
∴O，M，E，N四点共圆，
∴∠MEN+∠NOM=180°
（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，
∴△FEM∽△FON，
∴$\frac{FE}{FO}$=$\frac{FM}{FN}$
∴FE•FN=FM•FO．

点评 本题考查垂径定理，考查三角形相似的判定与应用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．