Question

3．已知函数f（x）=|1-2x|-|2+2x|．
（Ⅰ） 解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ） 若a²+2a＞f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ） 若a²+2a＞f（x）恒成立，则 a²+2a大于f（x）的最大值．利用绝对值三角不等式求得f（x）的最大值，可得a²+2a＞3，由此求得a的范围．

解答 （3）解：（Ⅰ）f（x）≥1可化为：|1-2x|-|2+2x|≥1，
即 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-2x+1+2x+2≥1}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{-2x+1-2x-2≥1}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1-2x-2≥1}\end{array}\right.$③．
解①得x＜-1，解②求得x≤-$\frac{1}{2}$，解③求得x∈∅，所以不等式的解集为（-∞，-$\frac{1}{2}$]．
（Ⅱ）a²+2a＞f（x）恒成立，等价于 a²+2a大于f（x）的最大值．
由于f（x）=|1-2x|-|2+2x|≤|1-2x+2+2x|=3，当且仅当x≤-1时取等号，故f（x）的最大值为3，
∴a²+2a＞3，求得a＜-3，或 a＞1，故实数a的取值范围为（-∞，-3）∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．