Question

11．已知△ABC中，∠B=2∠A，BC=4，△ABC的周长为15．
（1）求sinA的值；
（2）求cos（C+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由∠B=2∠A，可得sinB=sin2A=2sinAcosA，sinC=sin（π-A-B）=sin3A=3sinA-4sin³A．利用正弦定理可得b=8cosA，c=16cos²A-4．利用a+b+c=15，解出cosA，可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．
（2）利用倍角公式可得：cosB=2sinAcosA，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．可得cosC=-cos（A+B），sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$．利用cos（C+$\frac{π}{6}$）=$cosCcos\frac{π}{6}$-$sinCsin\frac{π}{6}$，即可得出．

解答 解：（1）∵∠B=2∠A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA，
sinC=sin（π-A-B）=sin3A=sin（2A+A）=sin2AcosA+cos2AsinA=2sinAcos²A+（1-2sin²A）sinA=3sinA-4sin³A．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴$b=\frac{a2sinAcosA}{sinA}$=2acosA=8cosA，c=$\frac{a（3sinA-4si{n}^{3}A）}{sinA}$=a（3-4sin²A）=4[3-4（1-cos²A）]=16cos²A-4．
∵a+b+c=15，
∴4+8cosA+16cos²A-4=15．
解得cosA=$\frac{3}{4}$，cosA=-$\frac{5}{4}$舍去．
∵A∈（0，π），
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
（2）cosB=2sinAcosA=$2×\frac{\sqrt{7}}{4}×\frac{3}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
B∈（0，π），∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{1}{8}$．
∴cosC=-cos（A+B）=-$（\frac{3}{4}×\frac{3\sqrt{7}}{8}-\frac{\sqrt{7}}{4}×\frac{1}{8}）$=-$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3}{4}$．
∴cos（C+$\frac{π}{6}$）=$cosCcos\frac{π}{6}$-$sinCsin\frac{π}{6}$=$-\frac{\sqrt{7}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{-\sqrt{21}-3}{8}$．

点评 本题考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式、两角和差的余弦公式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．