Question

2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=4$\sqrt{3}$，b=4，cosA=-$\frac{1}{2}$．
（1）求角B的大小；
（2）若f（x）=cos2x+$\frac{c}{2}$sin²（x+B），求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，求角B的大小；
（2）由余弦定理求出c，再化简函数，即可求函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）由$cosA=-\frac{1}{2}$得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得sinB=$\frac{1}{2}$，又b＜a，B＜A得B=$\frac{π}{6}$；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可得48=16+c²+4c，所以c=4．
所以f（x）=cos2x+2sin²（x+$\frac{π}{6}$）=cos2x+1-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=1+sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ（k∈Z）
所以所求函数的单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]（k∈Z）．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．