Question

10．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：
（1）若ab＞cd，则$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$；
（2）$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$是|a-b|＜|c-d|的充要条件．

Answer 1

分析 （1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；
（2）从两方面证，①若$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$，证得|a-b|＜|c-d|，②若|a-b|＜|c-d|，证得$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$，注意运用不等式的性质，即可得证．

解答 证明：（1）由于（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²=a+b+2$\sqrt{ab}$，
（$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$）²=c+d+2$\sqrt{cd}$，
由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，
则$\sqrt{ab}$＞$\sqrt{cd}$，
即有（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$）²，
则$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$；
（2）①若$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$，则（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$）²，
即为a+b+2$\sqrt{ab}$＞c+d+2$\sqrt{cd}$，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
于是（a-b）²=（a+b）²-4ab，
（c-d）²=（c+d）²-4cd，
即有（a-b）²＜（c-d）²，即为|a-b|＜|c-d|；
②若|a-b|＜|c-d|，则（a-b）²＜（c-d）²，
即有（a+b）²-4ab＜（c+d）²-4cd，
由a+b=c+d，则ab＞cd，
则有（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$）²．
综上可得，$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt{d}$是|a-b|＜|c-d|的充要条件．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．