Question

5．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（1）求$\frac{sinB}{sinC}$；
（2）若AD=1，DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求BD和AC的长．

Answer 1

分析 （1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=$\frac{AD×sin∠BAD}{BD}$，sin∠C=$\frac{AD×sin∠DAC}{DC}$，从而得解$\frac{sin∠B}{sin∠C}$．
（2）由（1）可求BD=$\sqrt{2}$．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．

解答 解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，
∵$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{2}BD×AE}{\frac{1}{2}DC×AE}$=2
∴BD=2DC，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
在△ABD中，$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sin∠B}$，∴sin∠B=$\frac{AD×sin∠BAD}{BD}$
在△ADC中，$\frac{DC}{sin∠DAC}$=$\frac{AD}{sin∠C}$，∴sin∠C=$\frac{AD×sin∠DAC}{DC}$；
∴$\frac{sin∠B}{sin∠C}$=$\frac{DC}{BD}$=$\frac{1}{2}$．…6分
（2）由（1）知，BD=2DC=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AB×DM}{\frac{1}{2}AC×DN}$=2，
∴AB=2AC，
令AC=x，则AB=2x，
∵∠BAD=∠DAC，
∴cos∠BAD=cos∠DAC，
∴由余弦定理可得：$\frac{（2x）^{2}+{1}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{2×2x×1}$=$\frac{{x}^{2}+{1}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{2×x×1}$，
∴x=1，
∴AC=1，
∴BD的长为$\sqrt{2}$，AC的长为1．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．