Question

17．已知数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$，利用裂项法即可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是递增的等比数列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
∴a₁+a₄=9，a₁a₄=a₂a₃=8．
解得a₁=1，a₄=8或a₁=8，a₄=1（舍），
解得q=2，即数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（2）S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2ⁿ-1，
∴b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}$=$\frac{{S}_{n+1}-{S}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$$-\frac{1}{{S}_{2}}+\frac{1}{{S}_{2}}-\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{{S}_{1}}$-$\frac{1}{{S}_{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．