Question

14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA=$\sqrt{3}$CE，求∠ACB的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x²=$\sqrt{12-{x}^{2}}$，解方程可得x值，可得所求角度．

解答 解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
由已知得AB=2$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{12-{x}^{2}}$，
由射影定理可得AE²=CE•BE，
∴x²=$\sqrt{12-{x}^{2}}$，即x⁴+x²-12=0，
解方程可得x=$\sqrt{3}$
∴∠ACB=60°

点评 本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．