Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2S_n=3ⁿ+3．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}，满足a_nb_n=log₃a_n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用2S_n=3ⁿ+3，可求得a₁=3；当n＞1时，2S_n-1=3^n-1+3，两式相减2a_n=2S_n-2S_n-1，可求得a_n=3^n-1，从而可得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）依题意，a_nb_n=log₃a_n，可得b₁=$\frac{1}{3}$，当n＞1时，b_n=3^1-n•log₃3^n-1=（n-1）×3^1-n，于是可求得T₁=b₁=$\frac{1}{3}$；当n＞1时，T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}$+（1×3^-1+2×3^-2+…+（n-1）×3^1-n），利用错位相减法可求得{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）因为2S_n=3ⁿ+3，所以2a₁=3¹+3=6，故a₁=3，
当n＞1时，2S_n-1=3^n-1+3，
此时，2a_n=2S_n-2S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，即a_n=3^n-1，
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}3，n=1\\{3}^{n-1}，n＞1.\end{array}\right.$．
（Ⅱ）因为a_nb_n=log₃a_n，所以b₁=$\frac{1}{3}$，
当n＞1时，b_n=3^1-n•log₃3^n-1=（n-1）×3^1-n，
所以T₁=b₁=$\frac{1}{3}$；
当n＞1时，T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{3}$+（1×3^-1+2×3^-2+…+（n-1）×3^1-n），
所以3T_n=1+（1×3⁰+2×3^-1+3×3^-2+…+（n-1）×3^2-n），
两式相减得：2T_n=$\frac{2}{3}$+（3⁰+3^-1+3^-2+…+3^2-n-（n-1）×3^1-n）=$\frac{2}{3}$+$\frac{1-{3}^{1-n}}{1-{3}^{-1}}$-（n-1）×3^1-n=$\frac{13}{6}$-$\frac{6n+3}{2×{3}^{n}}$，
所以T_n=$\frac{13}{12}$-$\frac{6n+3}{4×{3}^{n}}$，经检验，n=1时也适合，
综上可得T_n=$\frac{13}{12}$-$\frac{6n+3}{4×{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．