Question

4．已知函数f（x）=x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若b=c-a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（-∞，-3）∪（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞），求c的值．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4}{27}{a}^{3}$+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（-$\frac{2a}{3}$）=b（$\frac{4}{27}{a}^{3}$+b）＜0，进一步转化为a＞0时，$\frac{4}{27}{a}^{3}$-a+c＞0或a＜0时，$\frac{4}{27}{a}^{3}$-a+c＜0．设g（a）=$\frac{4}{27}{a}^{3}$-a+c，利用条件即可求c的值．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+b，
∴f′（x）=3x²+2ax，
令f′（x）=0，可得x=0或-$\frac{2a}{3}$．
a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
a＞0时，x∈（-∞，-$\frac{2a}{3}$）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（-$\frac{2a}{3}$，0）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，-$\frac{2a}{3}$），（0，+∞）上单调递增，在（-$\frac{2a}{3}$，0）上单调递减；
a＜0时，x∈（-∞，0）∪（-$\frac{2a}{3}$，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，-$\frac{2a}{3}$）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，0），（-$\frac{2a}{3}$，+∞）上单调递增，在（0，-$\frac{2a}{3}$）上单调递减；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{4}{27}{a}^{3}$+b，
则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（-$\frac{2a}{3}$）＜0，
∴b＞0且$\frac{4}{27}{a}^{3}$+b＜0，
∵b=c-a，
∴a＞0时，$\frac{4}{27}{a}^{3}$-a+c＞0或a＜0时，$\frac{4}{27}{a}^{3}$-a+c＜0．
设g（a）=$\frac{4}{27}{a}^{3}$-a+c，
∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（-∞，-3）∪（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞），
∴在（-∞，-3）上，g（a）＜0且在（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）上g（a）＞0均恒成立，
∴g（-3）=c-1≤0，且g（$\frac{3}{2}$）=c-1≥0，
∴c=1，
此时f（x）=x³+ax²+1-a=（x+1）[x²+（a-1）x+1-a]，
∵函数有三个零点，
∴x²+（a-1）x+1-a=0有两个异于-1的不等实根，
∴△=（a-1）²-4（1-a）＞0，且（-1）²-（a-1）+1-a≠0，
解得a∈（-∞，-3）∪（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞），
综上c=1．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．