Question

13．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1.2．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．

解答 解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax²，因为抛物线经过（5，2），可得a=$\frac{2}{25}$，
所以抛物线方程：y=$\frac{2}{25}{x}^{2}$，
横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：
2×$（{∫}_{0}^{5}\frac{2}{25}{x}^{2}-\frac{1}{2}×2×2）$=2（$\frac{2}{75}{{x}^{3}|}_{0}^{5}-2$）=$\frac{8}{3}$，
等腰梯形的面积为：$\frac{10+6}{2}×2$=16，当前最大流量的横截面的面积16-$\frac{8}{3}$，
原始的最大流量与当前最大流量的比值为：$\frac{16}{16-\frac{8}{3}}$=1.2．
故答案为：1.2．

点评 本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．