Question

1．已知椭圆C：9x²+y²=m²（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点（$\frac{m}{3}$，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．
（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x_P=2x_M，建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），
将y=kx+b代入9x²+y²=m²（m＞0），得（k²+9）x²+2kbx+b²-m²=0，
则判别式△=4k²b²-4（k²+9）（b²-m²）＞0，
则x₁+x₂=$-\frac{2kb}{9+{k}^{2}}$，则x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$-\frac{kb}{9+{k}^{2}}$，y_M=kx_M+b=$\frac{9b}{9+{k}^{2}}$，
于是直线OM的斜率k_OM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=$-\frac{9}{k}$，
即k_OM•k=-9，
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
（2）四边形OAPB能为平行四边形．
∵直线l过点（$\frac{m}{3}$，m），
∴由判别式△=4k²b²-4（k²+9）（b²-m²）＞0，
即k²m²＞9b²-9m²，
∵b=m-$\frac{k}{3}$m，
∴k²m²＞9（m-$\frac{k}{3}$m）²-9m²，
即k²＞k²-6k，
即6k＞0，
则k＞0，
∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，
由（1）知OM的方程为y=$-\frac{9}{k}$x，
设P的横坐标为x_P，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{9}{k}x}\\{9{x}^{2}+{y}^{2}={m}^{2}}\end{array}\right.$得${{x}_{P}}^{2}=\frac{{k}^{2}{m}^{2}}{9{k}^{2}+81}$，即x_P=$±\frac{km}{3\sqrt{9+{k}^{2}}}$，
将点（$\frac{m}{3}$，m）的坐标代入l的方程得b=$\frac{m（3-k）}{3}$，
即l的方程为y=kx+$\frac{m（3-k）}{3}$，
将y=$-\frac{9}{k}$x，代入y=kx+$\frac{m（3-k）}{3}$，
得kx+$\frac{m（3-k）}{3}$=$-\frac{9}{k}$x
解得x_M=$\frac{k（k-3）m}{3（9+{k}^{2}）}$，
四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x_P=2x_M，
于是$±\frac{km}{3\sqrt{9+{k}^{2}}}$=2×$\frac{k（k-3）m}{3（9+{k}^{2}）}$，
解得k₁=4-$\sqrt{7}$或k₂=4+$\sqrt{7}$，
∵k_i＞0，k_i≠3，i=1，2，
∴当l的斜率为4-$\sqrt{7}$或4+$\sqrt{7}$时，四边形OAPB能为平行四边形．

点评 本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．